$\frac{4x-3}{(x-2)(x+3) }=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+3}$ হলে (A,B) এর মান কত? 

দেওয়া আছে,

\[ \frac{4x-3}{(x-2)(x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+3} \]

ডান পাশের ভগ্নাংশ দুটিকে যোগ করে পাই:

\[ \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+3} = \frac{A(x+3) + B(x-2)}{(x-2)(x+3)} \]

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\[ \frac{4x-3}{(x-2)(x+3)} = \frac{A(x+3) + B(x-2)}{(x-2)(x+3)} \]

উভয় পক্ষের হর একই হওয়ায়, লব দুটি সমান হবে:

\[ 4x-3 = A(x+3) + B(x-2) \quad \cdots (1) \]

এখন A এবং B এর মান নির্ণয় করার জন্য আমরা (1) নং সমীকরণে x এর সুবিধাজনক মান বসাবো।

A এর মান বের করার জন্য, \(x-2 = 0\) অর্থাৎ \(x=2\) বসাই:

\(4(2)-3 = A(2+3) + B(2-2)\)

\(8-3 = A(5) + B(0)\)

\(5 = 5A\)

\(A = 1\)

B এর মান বের করার জন্য, \(x+3 = 0\) অর্থাৎ \(x=-3\) বসাই:

\(4(-3)-3 = A(-3+3) + B(-3-2)\)

\(-12-3 = A(0) + B(-5)\)

\(-15 = -5B\)

\(B = \frac{-15}{-5}\)

\(B = 3\)

সুতরাং, (A, B) এর মান হলো (1, 3)।

(1) নং সমীকরণ থেকে পাই:

\(4x-3 = A(x+3) + B(x-2)\)

\(4x-3 = Ax + 3A + Bx - 2B\)

\(4x-3 = (A+B)x + (3A-2B)\)

উভয় পক্ষের x এর সহগ এবং ধ্রুবক পদ সমীকৃত করে পাই:

\(A+B = 4 \quad \cdots (2)\)

\(3A-2B = -3 \quad \cdots (3)\)

(2) নং সমীকরণ থেকে পাই, \(B = 4-A\)। এই মান (3) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(3A - 2(4-A) = -3\)

\(3A - 8 + 2A = -3\)

\(5A - 8 = -3\)

\(5A = -3 + 8\)

\(5A = 5\)

\(A = 1\)

এখন \(A=1\) এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(1+B = 4\)

\(B = 4-1\)

\(B = 3\)

সুতরাং, (A, B) এর মান হলো (1, 3)।